\section{Josephspfennig in Heft 1/2009}

Hallo VD--Redaktion, ich möchte noch einmal auf den Artikel über den Josephspfennig in Heft 1 dieses Jahres zurückkommen. Dort heisst es:
\begin{quotation}
\begin{footnotesize}
Aus 1 Pfennig im Jahre 0 zu 5\% mit Zins und Zinseszins ergab sich im Jahr 2003 der rechnerische Betrag von:
\mbox{27.679.996.896.051.261.677.068.884.476.135.650.875.110,12~DM}
\end{footnotesize}
\end{quotation}

die Angabe von 12 Pfennig lässt vermuten, dass das Ergebnis auf eine halben Pfennig genau ist, das ist aber mit nichten so!

Löst man das Josephspfennig--Problem geschlossen, so folgt man der Zinseszinsformel: 
$$
K_n = K_0 (1+z)^n
$$
wobei $K_0$ das Anfangskapital (hier 1 Pf), $z$ der Zinssatz (hier $5\%=\frac{5}{100}$),
$n$ die Laufzeit (hier 2003 Jahre) und $K_n$ schließlich das Endkapital (unsere gesuchte Größe) ist. Rechnet man für den Josephspfennig in Pfennigen, wird die Formel also zu
$$
K_{2003} = 1 \cdot\ (\frac{105}{100})^{2003}
$$

Diese Formel gilt es also exakt auszurechnen. Hmmm --- Lisp kennt exakte Brüche:

\texttt{(setq Kn (expt 105/100 2003))}

Das exakte Ergebnis ist ein Bruch, dessen Nenner (selbst nach Kürzen des Bruchs) 2606 Ziffern besitzt und der daher hier besser nicht abgedruckt wird. Wir sind aber ja nur auf den Pfennig genau an dem Ergebnis interessiert, weswegen wir den Bruch auf die nächstliegende ganze Zahl runden können: \texttt{(round Kn)}. Das liefert uns

\mbox{2767999689615763453442122197746377688543584~Pf}. 

Dieser Wert weicht vom Ergebnis aus Heft 1/2009 um

\begin{scriptsize}
\begin{tabular}{cr}
  & 27.679.996.896.157.634.534.421.221.977.463.776.885.435,84 DM\\
- & 27.679.996.896.051.261.677.068.884.476.135.650.875.110,12 DM\\
\hline
= &  106.372.857.352.337.501.328.126.010.325,72 DM
\end{tabular}
\end{scriptsize}

ab. Das Ergebnis aus Heft 1/2009 ist also um rund $10^{29}$ DM zu klein. Her damit! Kein Wunder, dass wir Finanzkrise haben :-)

Wer schreibt eine exakte Brucharithmetik für/in Forth?

Es grüßt Euch, Johannes Brooks